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Easy Proof of Three Recursive $π$-Algorithms -- Einfacher Beweis dreier rekursiver $π$-Algorithmen

Article by Lorenz Milla
  • Published in 2019
  • Added on
This paper consists of three independent parts: First we use only elementary algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the Brent-Salamin algorithm approximates $\pi$. Combining these results proves that the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates $\pi$. Third, we prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also proves the quartic convergence of Borwein's algorithm. ----- Dieses Paper besteht aus drei unabh\"angigen Teilen: Erstens beweisen wir mit elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt so viele Iterationen ben\"otigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung, dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen $\pi$ konvergiert. Hieraus folgt, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen $\pi$ konvergiert. Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus.

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BibTeX entry

@article{EasyProofofThreeRecursiveAlgorithmsEinfacherBeweisdreierrekursiverAlgorithmen,
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	abstract = {This paper consists of three independent parts: First we use only elementary
algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly
the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice
as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the
Brent-Salamin algorithm approximates {\$}\pi{\$}. Combining these results proves that
the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates {\$}\pi{\$}. Third, we
prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also
proves the quartic convergence of Borwein's algorithm.
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  Dieses Paper besteht aus drei unabh\"angigen Teilen: Erstens beweisen wir mit
elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen
Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt
so viele Iterationen ben\"otigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung,
dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen {\$}\pi{\$} konvergiert. Hieraus folgt, dass
der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen {\$}\pi{\$} konvergiert.
Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus
und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus.},
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