Easy Proof of Three Recursive $π$-Algorithms -- Einfacher Beweis dreier rekursiver $π$-Algorithmen

• Published in 2019
• Added on 2022-02-25

This paper consists of three independent parts: First we use only elementary algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the Brent-Salamin algorithm approximates $\pi$. Combining these results proves that the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates $\pi$. Third, we prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also proves the quartic convergence of Borwein's algorithm. ----- Dieses Paper besteht aus drei unabh\"angigen Teilen: Erstens beweisen wir mit elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt so viele Iterationen ben\"otigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung, dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen $\pi$ konvergiert. Hieraus folgt, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen $\pi$ konvergiert. Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus.

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• http://arxiv.org/abs/1907.04110v2
• http://arxiv.org/pdf/1907.04110v2

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the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates {\$}\pi{\$}. Third, we
prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also
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  Dieses Paper besteht aus drei unabh\"angigen Teilen: Erstens beweisen wir mit
elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen
Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt
so viele Iterationen ben\"otigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung,
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der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen {\$}\pi{\$} konvergiert.
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